Programa sinóptico

Cálculo 3

Objetivos generales

• Reconocer las funciones que dependen de dos o tres variables como leyes de correspondencia, o procedimientos, y no simplemente como ecuaciones.
• Saber calcular límites y derivadas de las funciones elementales de varias variables reales.
• Tener la capacidad de bosquejar las gráficas de las funciones elementales de varias variables reales y poder obtener información sobre la función a partir de su gráfica.
  

Contenido programático

1. Geometría Analítica
   1.1 El espacio euclidiano tridimensional. Distancia usual entre puntos de R3 y su generalización a n dimensiones.
   1.2 Vectores en R2 y R3.
2. Funciones reales de varias variables reales
   2.1 El concepto de función real de varias variables reales. Dominio más ámplio de definición.
   2.2 Álgebra y composición de funciones.
   2.3 Biyectividad y función inversa.
   2.4 Bosquejo de las representaciones gráficas de la funciones elementales y estudio de sus propiedades mediante curvas de nivel.
3. Comportamiento local de una función en un punto de R2
   3.1 Punto interior, frontera y punto de acumulación de un subconjunto de R2. El concepto de límite finito, límites iterados y direccionales.
   3.2 Cálculo de límites y sus reglas.
4. Continuidad
   4.1 El concepto de continuidad de una función de dos variables reales en un punto de R2. Continuidad en subconjuntos de R2.
   4.2 Álgebra y composición de funciones continuas.
   4.3 Continuidad de las funciones elementales y tipos de discontinuidades.
5. Diferenciabilidad de funciones de varias variables reales
   5.1 El concepto de derivada parcial: definición e interpretación geométrica. Cálculo de derivadas parciales.
   5.2 Derivadas direccionales. Teorema del valor medio para funciones de varias variables. Relaciones entre continuidad y diferenciabilidad.
   5.3 Diferenciabilidad. Condición necesaria de diferenciabilidad. La diferencial. Aplicación al cálculo aproximado. Relación entre diferencial y derivadas parciales. Relaciones entre continuidad y diferenciabilidad.
   5.4 Superficies en R2. Plano tangente a una superficie en un punto. Recta normal.
   5.5 Derivadas parciales de ordenes superiores. Teorema de Schwarz (sobre la igualdad de las derivadas parciales mixtas).
6. Aplicaciones del Cálculo diferencial
   6.1 Curvas en R2 y R3. Vector tangente y vector normal a una curva en un punto. Interpretaciones geométricas y físicas de las curvas en R2 y R3.
   6.2 Derivación de funciones implícitas de una variable y de dos variables. Sistema de dos funciones implícitas. Jacobianos.
   6.3 Extremos locales o relativos de funciones de dos variables. Puntos estacionarios y clasificación de los puntos estacionarios. El Hessiano.
   6.4 Extremos relativos condicionados. Multiplicadores de Lagrange.
7. Integrales múltiples
   7.1 Integrales dobles y triples.
   7.2 Aplicaciones de las integrales dobles al cálculo de áreas y volúmenes.
   7.3 Aplicaciones de las integrales triples al cálculo de volúmenes.
   7.4 Teorema del cambio de variable en las integrales dobles y triples.
   7.5 Cambio de coordenadas polares, cilíndricas y esféricas.
   

Metodología

• Uso de un texto para el curso, a saber: Purcell, E. & Varberg, D., Cálculo con geometría Analítica, Prentice Hall Hispanoamericana S.A., 6ª edición, 1993.
• Combinación de clases magistrales expositivas e interactivas.
• Realización de sesiones de resolución de problemas.
• Realización de sesiones de lectura dirigidas de algunas partes del texto del curso, o de textos complementarios.
• Uso de softwares pertinentes en algunos tópicos.
  

Evaluación sugerida

• Realizar una evaluación diagnóstica del tema 1.
• Realizar, al menos, una evaluación escrita por tema.
• Confeccionar las evaluaciones en base a un problemario oficial.
• Dar algún peso, en la evaluación, a la revisión de los conceptos.
• Evaluar la redacción en las producciones escritas (exámenes, traducciones, etc.).
• Evaluar el uso de las herramientas informáticas (navegadores de Internet, editores, etc.) en las actividades realizadas por los estudiantes.
• Evaluar la participación en las experiencias de aprendizaje que se realicen.
• Los temas tendrán el siguiente peso en la evaluación: 20% el tema 1 y 2; 20% el tema 3 y 4; 20% el tema 5; 20% el tema 6 y 20% el tema 7.
  

Bibliografía

1. Apostol, Tom M., Calculus, Volumen 2, Editorial Reverté S. A., 2ª edición, 1979.
2. Larson, Hostetler y Edwards, Cálculo, Volumen 1, McGraw-Hill, 5ª edición, 1995.
3. Leithold, L., El Cálculo con Geometría Analítica, Harla S.A., 6ª edición, 1992.
4. Piskunov N., Cálculo diferencial e integral, MIR, 5ª edición, 1980.
5. Protter & Morrey, Cálculo con Geometría Analítica, Fondo Educativo Interamericano S.A., 3ª edición, 1980.
6. Spivak M., Calculus, Editorial Reverté S.A., 5ª edición, 1978.