Programa sinóptico

Análisis 3

Objetivos generales

• Resaltar los métodos y argumentos propios de la teoría de funciones de una variable compleja, en contraste con aquéllos de otras áreas de las Matemáticas.
• Destacar el carácter fundamentalmente geométrico de la teoría de funciones de una variable compleja.
• Ofrecer al estudiante un panorama de la gama de aplicaciones de los métodos de la teoría de funciones analíticas en otras disciplinas matemáticas.
  

Contenido programático

1. Funciones analíticas
   1.1 Números complejos. El plano complejo y sus propiedades topológicas. Proyección estereográfica. El punto al infinito.
   1.2 Funciones de una variable compleja. Polinomios analíticos. Series de potencias. Diferenciabilidad y unicidad de las Series de potencias.
   1.3 Funciones analíticas. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Las funciones ez, senz, cosz.
2. Integración compleja
   2.1 Propiedades de las integrales de línea. El Teorema de la curva cerrada para funciones enteras.
   2.2 Propiedades de las funciones enteras. La fórmula integral de Cauchy y el desarrollo en serie de potencias para funciones enteras. Teorema de Liouville y Teorema Fundamental del Álgebra.
   2.3 Propiedades de las funciones analíticas. Representación en serie de potencias de funciones analíticas en un disco. Analiticidad en conjuntos abiertos arbitrarios.
   2.4 Teorema de unicidad para funciones analíticas. Teorema del valor medio. Teorema del módulo máximo. Teorema de la aplicación abierta. Teorema de Morera. Funciones analíticas definidas como integrales.
   2.5 Dominios simplemente conexos. El Teorema de Cauchy (forma general). La función logz.
3. Series de Laurent y el Teorema de los residuos
   3.1 Clasificación de las singularidades aisladas. Principio de Riemann (singularidades evitables). Expansiones de Laurent.
   3.2 El Teorema de los residuos y sus aplicaciones. Evaluación de integrales definidas usando el Teorema de los residuos.
   3.3 Nociones elementales sobre transformaciones conformes. Equivalencia conforme. Transformaciones elementales. Autormorfismos del disco unitario.
   3.4 Funciones armónicas.
   

Metodología

• Uso de un texto para el curso, a saber: Bak J. and Newman D. J., Complex Analysis, 2ª edición, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 1997.
• En la sección 3.3, no dar las demostraciones, pero incluir aplicaciones.
• La sección 3.4 es opcional.
• Combinación de clases magistrales expositivas e interactivas.
• Introducción de los temas de manera intuitiva, antes de presentarlos con el rigor teórico correspondiente. De ser posible, inducir la búsqueda de estrategias geométricas, por parte del estudiante, que le ayuden a intuir algunos de los resultados fundamentales de la teoría.
• Realización de sesiones de resolución de problemas.
• Realización de sesiones de lectura dirigidas de algunas partes del texto del curso, o de textos complementarios.
• Presentación de la historia de algunos conceptos y/o técnicas.
• Asignación de exposiciones orales de algunos tópicos.
• Consulta de algunos sitios en la web que traten sobre algunos tópicos de la asignatura y/o de su historia.
  

Evaluación sugerida

• Realizar, al menos, una evaluación escrita por tema.
• Realizar pruebas cortas al finalizar las sesiones de problemas, que tendrán un peso en la nota final.
• Cada evaluación escrita parcial se basará en un 80% en los problemas discutidos en las prácticas.
• El 20% restante lo constituirá preguntas sobre conceptos y/o enunciados de teoremas.
• Evaluar la redacción en las producciones escritas (exámenes, traducciones, etc.).
• Dar algún peso, respecto a la nota final, a la asistencia y puntualidad.
• Los temas tendrán el siguiente peso en la evaluación: para el tema 1 el 20%; para el tema 2 el 30%; para el tema 3 el 30%; y el promedio de los quizes contribuirá con el 20% de la nota definitiva.
  

Bibliografía

1. Churchil Ruel V. y Ward Brown James, Variable compleja y aplicaciones, 5ª edición (o posterior), McGraw-Hill, 1992.
2. Lang Serge, Complex Analysis, 4ª edición,. Springer (Graduate Texts in Mathematics) 1999 (Todos los problemas de este libro están resueltos en: Shakarchi Rami, Problems and Solutions for Complex Analysis, Springer, 1999).
3. Marsden J. & Hoffman M., Análisis básico de variable compleja, Editorial Trillas, 1996.