PROGRAMA DE LA ASIGNATURA

MATEMÁTICA 30

1. Objetivos

   Diferenciabilidad de funciones reales y vectoriales en varias variables reales y sus aplicaciones a la optimización de funciones reales. Aplicaciones del cálculo integral en varias variables a la Física y la Mecánica clásica.

2. Funciones de Varias Variables.

   1. Espacios bidimensionales y tridimensionales. Vectores.

   2. Dependencia lineal. Bases.

   3. Norma Euclideana. Distancia entre puntos. Producto interno euclideano. Producto vectorial.

   4. Rectas, planos e hiperplanos.

   5. Matrices y Transformaciones lineales.

   6. Breve repaso de las cónicas. Definición, caracterización algebraica y representación gráfica de las cuádricas.

   7. Definición genérica de superficies cilíndricas, cónicas y de revolución.

3. Continuidad y límite de funciones reales.

   1. Bolas. Puntos interiores. Puntos de acumulación. Abiertos. Cerrados. Acotados. Compactos.

   2. Dominio de una función real. Continuidad de funciones reales.

   3. Concepto de límite. Relación entre límite y continuidad. sobre compactos.

4. Diferenciación de funciones reales escalares y vectoriales.

   1. Derivada direccional. Caso unidimencional. Derivadas parciales. El vector gradiente.

   2. El concepto de función diferenciable. Caso unidimencional. La matriz diferencial.

   3. Condición necesaria de diferenciabilidad. El vector gradiente y su interpretación geométrica.

   4. Teorema del valor medio. Teorema de Taylor de orden-2. Aplicaciones al cálculo aproximado.

   5. Regla de la cadena. Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas.

   6. Derivadas parciales de orden mayor a uno. Funciones de clase.

   7. Teorema de la igualdad de las derivadas parciales mixtas. Matriz Hessiana.

5. Aplicaciones del Cálculo diferencial.

   1. Curvas. Vector tangente y vector normal a una curva en un punto.

   2. Interpretaciones geométricas y físicas de las curvas.

   3. Superficies regulares. Plano tangente a una superficie en un punto.

   4. Derivación implícita. Jacobianos. Propiedades de los Jacobianos.

   5. Formas cuadráticas. Teorema de Sylvester.

   6. Extremos relativos. Puntos estacionarios. Clasificación de los puntos estacionarios.

   7. Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange.

6. Integrales Múltiples.

   1. Integrales dobles y triples.

   2. Aplicaciones de las integrales dobles al cálculo de áreas y volúmenes.

   3. Aplicaciones de las integrales triples al cálculo de volúmenes.

   4. Teorema del cambio de variable en las integrales dobles y triples.

   5. Cambio de coordenadas polares, cilíndricas y esféricas.

7. Integrales de Línea y de Superficie.

   1. La integral de línea. Longitud de arco. Trabajo mecánico.

   2. La integral de superficie. Cálculo del área de la superficie de un sólido.

   3. Teorema de Green en el plano. Aplicaciones al cálculo de áreas.

   4. Teorema de la divergencia de Gauss. Aplicaciones a la Física.

   5. Teorema de Stokes. Aplicaciones a la Física.

    

BIBLIOGRAFÍA

1. Tom Apóstol, Calculus, Volumen II.

2. Leithold, Cálculo y Geometría Analítica.

3. Protter y Morrey, Análisis Matemático.

4. R. Courant, Principios de Análisis Matemático.

5. Fleming, Funciones de Varias Variables.

6. E.J. Purcell and Varberg: Cálculo con Geometría Analítica. Prentice Hall-Hispanoamericana S.A. (6^a Edición).  México - Englewood Cliffs, 1993.