Programa sinóptico

Topología

Prerrequisitos

• El lenguaje, los conceptos básicos y las propiedades elementales relativos a conjuntos y funciones.
• La noción de número real, en particular los conceptos de supremo e ínfimo.
  

Objetivos generales

• Conocer las estructuras (topologías) que permiten hablar de “proximidad” entre puntos de un conjunto, particularmente a través de la medición de distancias (métricas).
• Aproximarse al estudio de las funciones continuas entre espacios topológicos.
  

Contenido programático

1. Espacios métricos
   1.1 Definición y ejemplos.
   1.2 Bolas y esferas.
   1.3 Conjuntos y funciones acotadas.
   1.4 Distancia entre conjuntos.
   1.5 Isometrías.
2. Espacios topológicos
   2.1 Definición y ejemplos.
   2.2 Conjuntos abiertos y cerrados.
   2.3 Funciones continuas.
3. Espacios conexos
   3.1 Conexidad.
   3.2 Componentes conexas.
   3.3 Arco-conexidad. Invariantes topológicos.
4. Sucesiones, convergencia y completitud
   4.1 Sucesiones convergentes y de Cauchy.
   4.2 Espacios métricos completos.
   4.3 Completitud del espacio de las funciones acotadas con la métrica uniforme.
   4.4 La propiedad de Bolzano-Weierstrass: Rn es completo.
   4.5 Completación de un espacio métrico.
   4.6 Completitud no es un invariante topológico.
   4.7 Conjuntos nunca-densos.
   4.8 Teorema de Baire. Aplicaciones: Teorema del punto fijo de Banach.
5. Espacios compactos
   5.1 Compacidad en espacios métricos (definición por sucesiones).
   5.2 Precompacidad: X es compacto si, y sólo si, X es precompacto y completo.
   5.3 Cubrimientos abiertos, el número de Lebesgue y el Teorema de Heine-Borel.
   5.4 Compacidad en espacios topológicos.
   5.5 Producto finito de compactos.
   5.6 Compacidad relativa.
   5.7 Continuidad uniforme y aplicaciones al problema del prolongamiento de una función.
6. Espacios de funciones
   6.1 Teorema de Ascoli.
   6.2 Teorema de Dini (convergencia uniforme de una sucesión monótona de funciones).
   6.3 Álgebra de funciones.
   6.4 Teorema de Stone-Weierstrass.
   

Metodología

• Uso de un texto para el curso, a saber: Lima Elon Lages, Espaços métricos, Projeto Euclides - IMPA, 1993.
• Combinación de clases magistrales expositivas e interactivas.
• Realización de sesiones de resolución de problemas.
• Asignación de trabajos especiales que complementen la información suministrada, y/o fortalezcan alguna habilidad buscada, en el curso; deberían presentarse digitalizados y preferiblemente usando el TeX.
• Consulta de algunos sitios en la web que traten sobre algunos tópicos de la asignatura y/o de su historia: Atlas de topología (http://www.at.yorku.ca/topology/), Historia de las matemáticas (http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/Links/MathBiog.html).
• Realización de sesiones de lectura dirigidas de algunas partes del texto del curso, o de textos complementarios.
  

Evaluación sugerida

• Realizar, al menos, una evaluación escrita por tema.
• Confeccionar las evaluaciones en base a un problemario oficial.
• Evaluar la redacción en las producciones escritas (exámenes, traducciones, etc.).
• Evaluar la estructura lógica en las producciones escritas (exámenes, traducciones).
• Dar algún peso, en la evaluación, a la revisión de los conceptos.
• Evaluar la participación en las experiencias de aprendizaje que se realicen.
• Evaluar el uso de las herramientas informáticas (navegadores de Internet, editores, etc.) en las actividades realizadas por los estudiantes.
  

Bibliografía

1. Kelly John, Topología General, Eudeba, 1965.
2. Munkres J. R., Topology, A First Course, Prentice - Hall, N. Jersey, 1975.
3. Tineo Antonio, Espacios métricos, ULA.