Programa sinóptico

Geometría 3

Objetivos generales

• Reconocer las propiedades locales de una curva y de una superficie, y la influencia de éstas en su comportamiento global.
• Reconocer la diferencia entre las propiedades intrínsecas de una superficie y las propiedades de una superficie que dependen del ámbito en el que está inmersa.
• Reconocer las propiedades globales de una superficie.
  

Contenido programático

1. Cálculo en el espacio euclidiano
   1.1 El espacio euclidiano.
   1.2 Vectores tangentes.
   1.3 Derivadas direccionales.
   1.4 Isometrías.
   1.5 Orientación en el espacio euclidiano.
2. Curvas
   2.1 Curvas parametrizadas.
   2.2 Curvas regulares y longitud de arco.
   2.3 La teoría local de las curvas parametrizadas por la longitud de arco (curvatura y torsión, el Triedro de Frenet, Ecuaciones de Frenet).
   2.4 Propiedades globales de las curvas planas.
3. Superficies
   3.1 Superficies regulares.
   3.2 Cambio de coordenadas; funciones diferenciables entre superficies.
   3.3 El plano tangente; la diferencial de una función diferenciable entre superficies.
   3.4 La primera Forma fundamental; Área.
   3.5 Orientación de superficies.
4. Operadores de forma
   4.1 El operador de forma de una superficie.
   4.2 Curvatura normal.
   4.3 Curvatura Gaussiana.
   4.4 Técnicas de cálculo.
   4.5 Curvas especiales en una superficie.
   4.6 Superficies de revolución.
5. La Geometría intrínseca de una superficie
   5.1 El Teorema de Gauss.
   5.2 Transporte paralelo; Geodésicas.
   5.3 El Teorema de Gauss-Bonnet y sus aplicaciones.
6. Geometría diferencial global
   6.1 La rigidez de la esfera.
   6.2 Superficies de curvatura Gaussiana cero.
   6.3 El Teorema de Hilbert.
   

Metodología

• Uso de un texto para el curso, a saber: Carmo, Manfredo P. do, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, Inc, 1ª edición, 1976.
• Combinación de clases magistrales expositivas e interactivas.
• Realización de sesiones de resolución de problemas.
• El capítulo 6 será opcional, dependiendo de las circunstancias del curso, pero debe hacerse al menos una de sus secciones.
• Realización de sesiones de lectura dirigidas de algunas partes del texto del curso, o de textos complementarios.
• Consulta de algunos sitios en la web que traten sobre algunos tópicos de la asignatura y/o de su historia.
• Uso de softwares pertinentes en algunos tópicos.
  

Evaluación sugerida

• Realizar, al menos, una evaluación escrita por tema.
• Confeccionar las evaluaciones en base a un problemario oficial.
• Dar algún peso, en la evaluación, a la revisión de los conceptos.
• Evaluar la redacción en las producciones escritas (exámenes, traducciones, etc.).
• Evaluar la estructura lógica en las producciones escritas (exámenes, traducciones).
• Evaluar el uso de las herramientas informáticas (navegadores de Internet, editores, etc.) en las actividades realizadas por los estudiantes.
  

Bibliografía

1. O’Neill Barret, Elementos de Geometría diferencial, Limusa-Wiley, S. A., 1ª edición, 1972.