Programa sinóptico

Elementos 2

Objetivos generales

• Mostrar que las propiedades algebraicas son independientes de la naturaleza de los objetos, a través del estudio de los enteros, racionales, reales y polinomios.
• Manejar el concepto de supremo y los conceptos asociados, con el propósito de introducir la noción de aproximación.
• Introducir la noción de cardinalidad, con el propósito de mostrar que R y Q no tienen el mismo número de elementos.

Contenido programático

1. Sistemas numéricos
   1.1 Dos problemas básicos relativos a los sistemas de números naturales, enteros, racionales y reales: el algebraico, respecto a la resolución de ecuaciones polinómicas; y el geométrico, respecto a la medición de longitudes de segmentos.
   1.2 Operaciones básicas de los números racionales y sus propiedades.
   1.3 El orden usual de los números racionales y sus propiedades básicas: densidad.
   1.4 El concepto de supremo, propiedades y el axioma del supremo: incompletitud del orden usual de los números racionales.
   1.5 Noción intuitiva de número real como expresiones decimales y como longitudes de segmentos.
   1.6 Operaciones básicas de los números reales y sus propiedades.
   1.7 El orden usual de los números reales y sus propiedades básicas: definiciones equivalentes del concepto de supremo y propiedades, completitud, densidad, propiedad arquimediana.
   1.8 Cálculo de supremo e ínfimo de sucesiones monótonas acotadas de números racionales.
   1.9 Tratamiento algebraico del problema de las soluciones de ecuaciones polinómicas: números algebraicos y números trascendentes (ejemplos).
   1.10 Incompletitud algebraica de R y enunciado del Teorema Fundamental del Álgebra.
2. Funciones
   2.1 Un problema relativo a los conjuntos infinitos, como N, Z, Q y R: ¿cuál de ellos tiene más elementos? Las funciones como herramientas para responder esta pregunta.
   2.2 El concepto de función: dominio, codominio, imagen de un elemento y de un conjunto, rango, preimagen de un elemento y de un conjunto.
   2.3 Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad.
   2.4 Composición de funciones.
   2.5 Función inversa.
3. Cardinalidad
   3.1 La noción de equipotencia.
   3.2 Conjuntos finitos e infinitos.
   3.3 Conjuntos numerables y no numerables: R no es numerable (por diagonalización y por el Principio de los intervalos encajados; numerabilidad de los algebraicos y no numerabilidad de los trascendentes).
   3.4 El Teorema de Cantor sobre la cardinalidad del conjunto potencia.
   3.5 Temas optativos: Rudimentos de Cardinalidad, Teorema de Cantor-Bernstein, Cardinales infinitos, Hipótesis del continuo.

Metodología

• Uso de los textos de la bibliografía de referencia.
• Combinación de clases magistrales expositivas e interactivas.
• Realización de sesiones de resolución de problemas, a las cuales se dedicará el 25% del tiempo del curso.
• Realización de sesiones de lectura dirigidas de algunas partes del texto del curso, o de textos complementarios.

Evaluación sugerida

• Realizar, al menos, una evaluación escrita por tema.
• Confeccionar las evaluaciones en base a un problemario oficial.
• Dedicar el 10% de la evaluación a la revisión de los conceptos.
• Dedicar el 10% de la nota a la redacción en las producciones escritas.
• Dedicar el 10% de la nota a la estructura lógica en las producciones escritas.
• Evaluar la participación en las experiencias de aprendizaje que se realicen.
• Evaluar el correcto uso del Castellano en la expresión oral de las ideas.
• Los temas tendrán el siguiente peso en la evaluación: 40% el tema 1; 30% el tema 2 y 30% el tema 3.

Bibliografía

1. Leal, Juan, Aritmética, Notas mimeografeadas, ULA, 2000.
2. Uzcátegui, Carlos, Notas de fundamentos de Álgebra, Notas mimeografeadas, ULA, 2000.