Programa sinóptico

Ecuaciones Diferenciales

Prerrequisitos

• Series de potencias y propiedades elementales de matrices.
  

Objetivos generales

• Dominar los conceptos y la terminología que forman parte del estudio y la clasificación de las Ecuaciones diferenciales ordinarias.
• Adquirir destrezas en el manejo de técnicas y resultados, tanto de tipo analítico como geométrico y cualitativo, para el estudio y resolución de Ecuaciones diferenciales ordinarias.
  

Contenido programático

1. Preliminares
   1.1 Clasificación de las ecuaciones diferenciales: ordinarias y parciales, lineales y no lineales, ecuaciones individuales y sistemas.
   1.2 El orden de una ecuación diferencial ordinaria.
   1.3 El concepto de solución de una ecuación diferencial ordinaria.
   1.4 El campo direccional asociado a una ecuación diferencial.
2. Ecuaciones diferenciales de primer orden
   2.1 Ecuaciones lineales.
   2.2 Separación de variables.
   2.3 Ecuaciones diferenciales autónomas. Análisis cualitativo de las soluciones.
   2.4 Ecuaciones exactas y factor integrante.
   2.5 Simplificación de la ecuación por medio de un cambio de variables. Ecuaciones diferenciales homogéneas.
   2.6 El Teorema de existencia y unicidad.
   2.7 Aplicaciones.
3. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden
   3.1 Ecuaciones diferenciales homogéneas. Solución fundamental y el Wronskiano.
   3.2 Ecuaciones diferenciales no homogéneas. El método de coeficientes indeterminados y el método de variación de parámetros.
   3.3 Aplicaciones.
4. Soluciones en series de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden
   4.1 Soluciones en series de potencia cerca de un punto ordinario.
   4.2 Soluciones en series de potencia cerca de un punto singular regular.
   4.3 La ecuación de Euler y la ecuación de Bessel.
5. La Transformada de Laplace
   5.1 Definición y propiedades de la Transformada de Laplace.
   5.2 Solución de problemas de valores iniciales utilizando la transformada de Laplace.
   5.3 La transformada de Laplace de funciones especiales: funciones con discontinuidad de saltos y funciones de impulso (delta de Dirac). Resolución de ecuaciones diferenciales con términos especiales.
   5.4 La transformada de Laplace y las integrales de convolución. Aplicaciones a la resolución de ecuaciones diferenciales.
6. Sistemas lineales de primer orden
   6.1 Teoría básica de sistemas lineales de primer orden. Conjunto fundamental de soluciones.
   6.2 Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes.
   6.3 La matriz fundamental.
   6.4 Sistemas lineales no homogéneos. Métodos de diagonalización, de coeficientes indeterminados y de variación de parámetros.
7. Ecuaciones diferenciales no lineales
   7.1 El plano de fase de sistemas lineales.
   7.2 Sistemas autónomos. Estabilidad de puntos críticos.
   7.3 Método de linealización alrededor de puntos críticos.
   7.4 El método directo de Liapunov. Funciones de Liapunov.
   7.5 Soluciones periódicas y ciclos límite. El Teorema de Poincaré-Bendixson.
   7.6 Ejemplos de dinámica caótica. El atractor de Lorenz.
   7.7 Aplicaciones.
   

Metodología

• Uso de un texto para el curso, a saber: Boyce, W. E. & DiPrima, R. C., Elementary Differential Equations and Boundary Valued Problems, John Wiley & Sons, Inc., 6ª edición, 1997.
• Los temas 5.3, 5.4, 7.5 y 7.6 son opcionales.
• Combinación de clases magistrales expositivas e interactivas.
• Asignación de trabajos especiales que complementen la información suministrada, y/o fortalezcan alguna habilidad buscada, en el curso; deberían presentarse digitalizados y preferiblemente usando el TeX.
• Realización de sesiones de resolución de problemas.
• Realización de sesiones de lectura dirigidas de algunas partes del texto del curso, o de textos complementarios.
• Uso de softwares pertinentes en algunos tópicos.
• Presentación de la historia de algunos conceptos y/o técnicas.
  

Evaluación sugerida

• Realizar, al menos, una evaluación escrita por tema.
• Confeccionar las evaluaciones en base a un problemario oficial.
• Evaluar la redacción en las producciones escritas (exámenes, traducciones, etc.).
• Evaluar la estructura lógica en las producciones escritas (exámenes, traducciones).
• Dar algún peso, en la evaluación, a la revisión de los conceptos.
• Los temas tendrán el siguiente peso en la evaluación: 10% el tema 1; 15% el tema 2; 15% el tema 3; 15% el tema 4; 15% el tema 5; 15% el tema 6 y 15% el tema 7.
  

Bibliografía

1. Braum, M., Differential Equations and Their Applications, Springer-Verlag, 3ª edición, 1983.
2. Carrier, G. F. & Pearson, C. E., Ordinary Diferential Equations, SIAM, 1991.