Programa sinóptico

Cálculo 4

Objetivos generales

• Desarrollar la intuición geométrica, tanto en el plano como en el espacio.
• Poder reconocer cuándo una serie de potencias converge.
• Saber calcular soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias tipo.
• Habilitarse en el uso de los teoremas clásicos del análisis vectorial.
  

Contenido programático

1. Producto escalar y vectorial en R2 y R3
   1.1 Álgebra vectorial en R2 y R3.
   1.2 Producto escalar de vectores en R2 y R3.
   1.3 Producto vectorial en R3.
   1.4 Relación entre el producto vectorial y escalar, con los determinantes y los volúmenes de paralelepípedos.
2. Operadores diferenciales clásicos
   2.1 Campos escalares y campos vectoriales.
   2.2 Gradiente, rotacional y divergencia, propiedades e interpretación geométrica.
3. Integrales de línea
   3.1 Curvas en R2 y R3, parametrización y orientación.
   3.2 Integral de línea de un campo escalar y de un campo vectorial.
   3.3 Ejemplos de la integral de línea: vía longitud de una curva; vía el trabajo hecho por un campo vectorial sobre un camino.
   3.4 Propiedades de la integral de línea: linealidad, independencia de la parametrización para integrales de línea de campos escalares, dependencia de la orientación de la curva para integrales de línea, invariabilidad de la integral sobre caminos homotópicos, etc.
   3.5 Teorema de Green en R2.
   3.6 Caracterización de campos vectoriales conservativos.
4. Integrales de superficie
   4.1 Superficies en R3: parametrizadas, como conjunto de ceros de una función escalar, etc. (cilindros, conos, toros, paraboloides, hiperboloides, elipsoides).
   4.2 Orientación de superficies.
   4.3 Integral de superficie de un campo escalar y de un campo vectorial.
   4.4 Ejemplos de la integral de superficie: vía el área de una superficie; vía el flujo de un campo vectorial a través de una superficie.
   4.5 Propiedades de la integral de superficie: linealidad, independencia de la parametrización para integrales de línea de campos escalares, dependencia de la orientación de la superficie para integrales de superficie de campos vectoriales.
   4.6 Teorema de Gauss.
   4.7 Teorema de Stokes y aplicaciones.
   4.8 Caracterización de campos vectoriales irrotacionales y solenoidales.
5. Series de números reales
   5.1 Sucesiones de números reales: monótonas, de Cauchy, límites, principio del sandwich.
   5.2 Series de números reales, convergencia de series y propiedades.
   5.3 Criterios de convergencia de series de términos positivos: pruebas de comparación, criterios de la raíz y el cociente, criterio de Raabe, criterio de la integral.
   5.4 Criterios de convergencia para series alternadas.
   5.5 Convergencia absoluta, Teorema de Wierstrass.
   5.6 Series de potencias.
   5.7 Radio de convergencia, intervalo de convergencia.
   5.8 Integración y derivación de series de potencias.
   5.9 Serie de Taylor de una función y propiedades.
   5.10 Cálculo de series de Taylor de una función.
6. Introducción a las Ecuaciones diferenciales ordinarias
   6.1 Introducción al concepto de Ecuación diferencial ordinaria: definición, existencia de soluciones, unicidad de soluciones.
   6.2 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.
   6.3 Ecuaciones diferenciales de variables separables.
   6.4 Ecuaciones que se reducen a una de variables separables, por un cambio de variables.
   6.5 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden.
   6.6 Soluciones singulares de una Ecuación diferencial ordinaria de segundo orden y desarrollo de soluciones mediante series alrededor de un punto singular.
   6.7 Interpretación geométrica de una Ecuación diferencial ordinaria de primer orden en forma normal y aplicaciones.
   6.8 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden no resueltas respecto a la derivada e interpretación geométrica.
   

Metodología

• Uso de un texto para el curso, a saber: Marsden, J. , Cálculo vectorial, Prentice Hall S.A., 6ª edición, 1993.
• Combinación de clases magistrales expositivas e interactivas.
• Realización de sesiones de resolución de problemas.
• Uso de softwares pertinentes en algunos tópicos.
  

Evaluación sugerida

• Realizar, al menos, una evaluación escrita por tema.
• Confeccionar las evaluaciones en base a un problemario oficial.
• Dar algún peso, en la evaluación, a la revisión de los conceptos.
• Evaluar la redacción en las producciones escritas (exámenes, traducciones, etc.).
• Dar algún peso, respecto a la nota final, a la asistencia y puntualidad.
• Evaluar la participación en las experiencias de aprendizaje que se realicen.
• Los temas tendrán el siguiente peso en la evaluación: 10% el tema 1; 10% el tema 2; 15% el tema 3; 15% el tema 4; 25% el tema 5; y 25% el tema 6.
  

Bibliografía

1. Apostol, Tom M., Calculus, Volumen 1, Editorial Reverté S. A., 2ª edición, 1979.
2. Elsgol`ts, L., Ecuaciones diferenciales y Cálculo de variaciones, Editorial Mir, 1ª edición, 1996.
3. Spivak M., Calculus, Editorial Reverté S.A., 5ª edición, 1978.
4. Zill, D., Ecuaciones diferenciales, Thonsom editores, 6ª edición, 1997.