Programa sinóptico

Cálculo 2

Objetivos generales

• Reconocer el Cálculo diferencial como herramienta para el estudio de las variaciones de una función y para la realización precisa de su gráfica.
• Comprender la íntima conexión entre el Cálculo diferencial y el Cálculo integral a través del concepto de la antiderivada de una función.
• Reconocer la Integral definida y la Integral impropia (su extensión natural) como herramientas para cuantificar subconjuntos del plano.
• Habituar al estudiante a utilizar la interpretación geométrica de las situaciones que lo permitan para obtener, por ese medio, información sobre las mismas.
  

Contenido programático

1. Representación gráfica de las funciones elementales
   1.1 Extremos locales o relativos y puntos críticos de primer orden: el Teorema de Fermat.
   1.2 Funciones crecientes y extremos globales o absolutos de una función.
   1.3 El Teorema del valor extremo o de Bolzano-Weierstrass, el Teorema de Rolle, el Teorema del valor medio para funciones diferenciables o Teorema de Lagrange.
   1.4 La primera derivada y el crecimiento de una función.
   1.5 Clasificación de los puntos críticos de primer orden con la primera derivada.
   1.6 Funciones cóncavas y convexas, puntos de inflexión y puntos críticos de segundo orden.
   1.7 La segunda derivada y la concavidad de una función.
   1.8 Clasificación de los puntos críticos de segundo orden con la segunda derivada.
   1.9 El concepto de límite infinito en un punto y límite al infinito: asíntotas verticales, horizontales y oblícuas.
   1.10 Cálculo de límites al infinito: Regla de L'Hopital.
   1.11 Análisis y graficación de funciones elementales (algebraicas y trascendentes).
2. Aplicaciones de la derivada
   2.1 La derivada en las ciencias naturales y sociales (razón de cambio, modelos).
   2.2 Problemas sobre máximos y mínimos, y optimización.
   2.3 La diferencial de una función y aproximación lineal.
   2.4 Polinomio de Taylor y de MacLaurin, y aproximaciones más finas que la lineal.
   2.5 Aplicaciones en el estudio de curvas en el plano, tanto en forma cartesiana, paramétrica (cicloides, hipocicloides, epicicloides, concoides) y polar (rectas, círculos, cónicas, caracoles y cardioides, rosas, lemniscatas, espirales).
3. La integral indefinida
   3.1 El concepto de antiderivada o primitiva de una función.
   3.2 La integral indefinida y sus propiedades.
   3.3 Cálculo de integrales y sus métodos.
4. La integral definida
   4.1 Definición de la integral de Riemann.
   4.2 Funciones integrables, continuidad e integrabilidad.
   4.3 Propiedades de la integral definida.
   4.4 Teorema del valor medio para funciones integrables y Teorema Fundamental del Cálculo.
   4.5 Cálculo de áreas para funciones dadas en forma paramétrica y en coordenadas polares.
5. Aplicaciones de la integral
   5.1 Definición formal de exponencial y logaritmo.
   5.2 Áreas de regiones planas limitadas por curvas.
   5.3 Volumen de un solido de revolución (método de los discos y método de las cortezas).
   5.4 Longitud de un arco de curva.
   5.5 Área de la superficie de un sólido de revolución.
   5.6 Centro de masa y momento de inercia.
   5.7 Resolución de algunas ecuaciones diferenciales (variables separables, lineales de primer orden).
6. La integral impropia
   6.1 Integrales impropias de primera especie.
   6.2 Integrales impropias de segunda especie.
   

Metodología

• Uso de un texto para el curso, a saber: Purcell, E. & Varberg, D., Cálculo con geometría Analítica, Prentice Hall Hispanoamericana S.A., 6ª edición, 1993.
• Combinación de clases magistrales expositivas e interactivas.
• Realización de sesiones de resolución de problemas.
• Realización de sesiones de lectura dirigidas de algunas partes del texto del curso, o de textos complementarios.

Evaluación sugerida

• Realizar, al menos, una evaluación escrita por tema; el último tema podría evaluarse con un trabajo especial.
• Confeccionar las evaluaciones en base a un problemario oficial.
• Dar algún peso, en la evaluación, a la revisión de los conceptos.
• Evaluar la redacción en las producciones escritas (exámenes, traducciones, etc.).
• Dar algún peso, respecto a la nota final, a la asistencia y puntualidad.
• Evaluar la participación en las experiencias de aprendizaje que se realicen.
• Los temas tendrán el siguiente peso en la evaluación: 25% el tema 1; 15% el tema 2; 20% el tema 3; 10% el tema 4; 20% el tema 5; y 10% el tema 6.

Bibliografía

1. Apostol, Tom M., Calculus, Volumen 1, Editorial Reverté S. A., 2ª edición, 1979.
2. Demidovich B., Problemas y ejercicios de Análisis matemático, MIR, 5ª edición, 1977.
3. Larson, Hostetler y Edwards, Cálculo, Volumen 1, McGraw-Hill, 5ª edición, 1995.
4. Spivak M., Calculus, Editorial Reverté S.A., 5ª edición, 1978.
5. Stewart J., Cálculo diferencial e integral, International Thomson Editores, 1999.