Programa sinóptico

Análisis Numérico

Objetivos generales

• Introducir al estudiante en el uso de los métodos numéricos para la solución de algunos problemas de las Matemáticas.
• Desarrollar algoritmos a partir de la Teoría e implementarlos numéricamente.
• Aprender a analizar los métodos numéricos desde un punto de vista matemático, prestando atención a los resultados analíticos y así poder explicar cómo, por qué y cuándo se espera que éstos métodos funcionen.
  

Contenido programático

1. Fuentes y propagación de errores
   1.1 Fuentes de errores. Errores de redondeo y discretización. Propagación de errores.
   1.2 Sistemas numéricos. Aritmética del computador.
   1.3 Estabilidad e inestabilidad numérica.
2. Solución de ecuaciones no lineales de una variable
   2.1 El método de la bisección. El método de la secante. El método de Newton.
   2.2 Teoría general para métodos iterativos de un punto. Raíces múltiples.
   2.3 Técnicas de aceleración.
   2.4 Cálculo de raíces de polinomios.
3. Solución de sistemas de ecuaciones lineales
   3.1 Eliminación gaussiana. Pivotes y factores de escala.
   3.2 Factorización LU. Factorización de Cholesky. Matrices en banda.
   3.3 Normas vectoriales y matriciales. Número de condición. Análisis del error.
   3.4 Métodos iterativos: métodos de Jacobi, Gauss-Seidel y SOR (sobre-relajación sucesiva).
   3.5 Convergencia de los métodos iterativos. Estimaciones del error.
4. Teoría de interpolación
   4.1 Interpolación polinomial.
   4.2 Forma de Lagrange del polinomio de interpolación.
   4.3 Diferencias divididas. Forma de Newton del polinomio de interpolación.
   4.4 Diferencias progresivas y regresivas, y polinomio de interpolación. Diferencia divididas con nodos repetidos.
   4.5 La convergencia de los polinomios de interpolación. Polinomios de Chebyshev y nodos.
   4.6 Interpolación con funciones splines. Splines cúbicas.
5. Integración numérica
   5.1 Fórmulas de integración basadas en interpolación. Análisis del error.
   5.2 Polinomios ortogonales. Cuadratura Gaussiana. Convergencia y análisis del error.
   5.3 Cuadratura adaptable.
   

Metodología

• Uso de un texto para el curso, a saber: Kincaid David & Cheney Ward, An Introduction to Numerical Anayisis, Brooks/Cole 1996.
• Combinación de clases magistrales expositivas e interactivas.
• Realización de sesiones de resolución de problemas. Dichos problemas, además de abordar el cálculo numérico, estarán también orientados a la aplicación de los resultados analíticos desarrollados en clase y a la formulación de ideas que puedan inducir procedimientos computacionales.
• Realización de prácticas de laboratorio. En dichas prácticas se enfatizará sobre los distintos aspectos de los métodos numéricos y el análisis, la comparación e interpretación de los resultados obtenidos.
• Asignación de trabajos especiales que complementen la información suministrada, y/o fortalezcan alguna habilidad buscada, en el curso; deberían presentarse digitalizados y preferiblemente usando el TeX.
• Consulta de algunos sitios en la web que traten sobre algunos tópicos de la asignatura y/o de su historia.
• Uso de softwares pertinentes en algunos tópicos.
• Presentación de la historia de algunos conceptos y/o técnicas.
  

Evaluación sugerida

• Confeccionar las evaluaciones en base a un problemario oficial.
• Dar algún peso, en la evaluación, a la revisión de los conceptos.
• Evaluar la estructura lógica en las producciones escritas (exámenes, traducciones).
• Evaluar el uso de las herramientas informáticas (navegadores de Internet, editores, etc.) en las actividades realizadas por los estudiantes.
• Una evaluación por tema, representando el 60% de la nota definitiva. Los temas tendrán el siguiente peso: 10% el tema 1; 25% el tema 2; 20% el tema 3; 25% el tema 4; 20% el tema 5.
• Una evaluación por tema de las prácticas de laboratorio, que sumarán por partes iguales el 40% de la nota definitiva.
  

Bibliografía

1. Atkinson Kendall E., An Introduction to Numerical Analysis, John Wiley & Sons. 1978.
2. Burden R. y Faires D., Análisis Numérico, Grupo Editorial Iberoamérica, 1985.
3. Trevisan M. C., Notas de Análisis Numérico, Notas mimeografiadas, ULA, 2001.