Programa sinóptico

Análisis 4

Objetivos generales

• Estudiar las propiedades más importantes de la Medida y la Integral de Lebesgue en la recta real.
• Estudiar y aplicar los teoremas de convergencia.
  

Contenido programático

1. Introducción
   1.1 Deficiencias de la integral de Riemman.
   1.2 El problema de la integral del límite puntual de una sucesión funciones.
2. La Medida de Lebesgue
   2.1 La medida exterior de Lebesgue.
   2.2 Conjuntos medibles. s-álgebras de subconjuntos. La medida de Lebesgue.
   2.3 Aproximación de conjuntos medibles por conjuntos Gd y Fs .
   2.4 Conjuntos de Borel.
   2.5 El conjunto de Vitali, el Axioma de elección y los conjuntos no medibles.
3. Funciones medibles
   3.1 Funciones medibles Borel y Lebesgue.
   3.2 Preservación de la medibilidad por operaciones algebraicas. Límite, supremo e ínfimo de sucesiones de funciones medibles.
   3.3 Funciones simples.
   3.4 Aproximación de funciones medibles.
   3.5 Teorema de Lusin.
4. Integral de Lebesgue
   4.1 Integral de funciones simples. Integral de funciones medibles.
   4.2 Integración sobre conjuntos medibles.
   4.3 Los espacios Lp .
5. Teoremas de convergencia
   5.1 El Teorema de convergencia monótona.
   5.2 El Lema de Fatou y el Teorema de convergencia dominada.
   5.3 Teorema de Egoroff.
   5.4 Relación con la integral de Riemann.
   5.5 Aproximación de funciones integrables.
   5.6 Integración de series de funciones.
   

Metodología

• Uso de un texto para el curso, a saber: Wilcox H. y Myers D., An Introduction to Lebesgue Integration and Fourier Series, Dover Publication, INC. New York 1994.
• Combinación de clases magistrales expositivas e interactivas.
• Realización de sesiones de resolución de problemas.
• Sesiones de lectura dirigida de algunas partes del texto del curso o de textos complementarios.
• Asignación de trabajos especiales que complementen la información suministrada, y/o fortalezcan alguna habilidad buscada, en el curso; deberían presentarse digitalizados y preferiblemente usando el TeX.
  

Evaluación sugerida

• Realizar, al menos, una evaluación escrita por tema.
• Confeccionar las evaluaciones en base a un problemario oficial.
• Dar algún peso, en la evaluación, a la revisión de los conceptos.
• Evaluar la redacción en las producciones escritas (exámenes, traducciones, etc.).
• Evaluar la estructura lógica en las producciones escritas (exámenes, traducciones).
• Los temas 2, 3, 4 y 5 tienen el mismo peso.
• Realizar pruebas cortas que, junto al trabajo especial, equivaldrán a otras dos evaluaciones parciales.
  

Bibliografía

1. Betz C., Introducción a la teoría de la medida e integración, UCV, 1992.
2. De Barra G., Measure theory and integration, John Wiley & Sons, 1981.