Programa sinóptico

Análisis 2

Prerrequisitos

• Rn como espacio vectorial, base, dimensión. Transformaciones lineales y su matriz asociada.
• Rectas y planos en el espacio. Producto vectorial.
  

Objetivos generales

• Proveer la fundamentación del Cálculo diferencial de funciones reales de varias variables.
• Adquirir la capacidad de relacionar la Geometría y el Análisis de varias variables a través del Álgebra lineal.
  

Contenido programático

1. Topología de Rn
   1.1 Producto interno, la norma y la métrica usuales en Rn.
   1.2 Bolas y discos abiertos y cerrados. Conjuntos abiertos y cerrados. Puntos de adherencia y de acumulación. Sucesiones en Rn. Completitud.
   1.3 Conjuntos compactos. Teorema de Heine-Borel.
   1.4 Conjuntos conexos y arco-conexos.
   1.5 Límites y continuidad. Homeomorfismos.
2. Diferenciabilidad de funciones de varias variables
   2.1 Gráficas y curvas de nivel.
   2.2 Derivada parcial y direccional. Gradiente. Regla de la cadena.
   2.3 Derivadas parciales repetidas (Teorema de Schwarz). Derivadas de orden superior.
   2.4 Extremos relativos y condicionados.
3. Diferenciabilidad de funciones vectoriales de varias variables
   3.1 Diferenciabilidad de una función vectorial. Matriz Jacobiana.
   3.2 Regla de la cadena.
   3.3 Teorema del valor medio en varias variables.
   3.4 Teorema de la función implícita.
4. Integrales de línea e integrales dobles
   4.1 Funciones potenciales.
   4.2 Integrales de línea.
   4.3 Integrales dobles.
   4.4 El Teorema de Green.
   

Metodología

• Uso de un texto para el curso, a saber: Elon Lages Lima, Curso de Análise, Vol 2, Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1989.
• Combinación de clases magistrales expositivas e interactivas.
• Introducción de los temas de manera intuitiva, antes de presentarlos con el rigor teórico correspondiente.
• Realización de sesiones de resolución de problemas.
• Realización de sesiones de lectura dirigidas de algunas partes del texto del curso, o de textos complementarios.
  

Evaluación sugerida

• Realizar pruebas cortas al finalizar las sesiones de problemas.
• Realizar, al menos, una evaluación escrita por tema.
• Confeccionar las evaluaciones en base a un problemario oficial.
• Evaluar la redacción en las producciones escritas (exámenes, traducciones, etc.).
• Evaluar la estructura lógica en las producciones escritas (exámenes, traducciones).
• Dar algún peso, en la evaluación, a la revisión de los conceptos.
• Evaluar la participación en las experiencias de aprendizaje que se realicen.
• Evaluar el correcto uso del Castellano en la expresión oral de las ideas.
• Los temas tendrán el siguiente peso en la evaluación: 15% el tema 1; 20 % el tema 2; 20% el tema 3 y 25 % el tema 4; las pruebas cortas aportarán el 20% de la nota definitiva.
  

Bibliografía

1. Apostol T., Análisis Matemático, Editorial Reverté, S.A.,1977.
2. Fleming W., Function of Several variables, Undegraduate texts in Mathematics, Springer Verlag, 1997.
3. Lang Serge, Calculus of several variables, Third Edition, Undegraduate text in Math. 1987.