Programa sinóptico

Análisis 1

Prerrequisitos

• Propiedades del valor absoluto y la métrica usual de los números reales. Intervalos. Conjuntos acotados. Supremo e ínfimo. Axioma del supremo. Propiedades del supremo y del ínfimo.
  

Objetivos generales

• Proveer la fundamentación del Cálculo diferencial e integral de funciones reales de una variable real.
• Habilitar al estudiante para realizar demostraciones rigurosas de proposiciones elementales del Cálculo diferencial e integral de funciones reales de una variable real, especialmente las demostraciones e-d.
• Acercar al estudiante a la comprensión de las nociones de continuo e infinito, cercano y lejano, y de aproximación.
  

Contenido programático

1. Topología de la recta
   1.1 Conjuntos abiertos y cerrados. Caracterización de los abiertos a través de intervalos.
   1.2 Puntos de adherencia y de acumulación.
   1.3 Sucesiones de números reales. Subsucesiones. Sucesiones de Cauchy.
   1.4 Conjuntos compactos. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Teorema de Heine-Borel.
2. Límites y continuidad
   2.1 Límite de una función. Continuidad de una función en un punto y en un conjunto. Álgebra de funciones continuas.
   2.2 Propiedades de las funciones continuas sobre compactos e intervalos.
   2.3 Continuidad uniforme.
3. Diferenciabilidad
   3.1 Definición de la derivada. Interpretación geométrica. Álgebra de funciones diferenciables. Regla de la cadena.
   3.2 Teoremas del valor medio. Fórmula de Taylor.
   3.3 Extremos relativos y convexidad.
4. La Integral de Riemann
   4.1 Definición y propiedades básicas.
   4.2 Funciones R-integrables.
   4.3 El Teorema Fundamental del Cálculo.
   4.4 Integrabilidad y continuidad (oscilación de una función y conjuntos de medida cero).
5. Sucesiones de funciones
   5.1 Convergencia puntual y uniforme.
   5.2 Intercambio de límites con derivadas.
   5.3 Intercambio de límites con integrales.
   5.4 Series de funciones (opcional).
   5.5 Series de potencia (opcional).
   

Metodología

• Uso de un texto para el curso, a saber: Lima Elon Lages, Análise Real, Vol.1, Sociedade Brasileira de Matemáticas, 8ª edición, 1995.
• Combinación de clases magistrales expositivas e interactivas.
• Realización de sesiones de resolución de problemas.
• Asignación de trabajos especiales que complementen la información suministrada, y/o fortalezcan alguna habilidad buscada, en el curso; deberían presentarse digitalizados y preferiblemente usando el TeX.
• Presentación de la historia de algunos conceptos y/o técnicas.
• Consulta de algunos sitios en la web que traten sobre algunos tópicos de la asignatura y/o de su historia.
  

Evaluación sugerida

• Realizar, al menos, una evaluación escrita por tema.
• Confeccionar las evaluaciones en base a un problemario oficial.
• Evaluar la redacción en las producciones escritas (exámenes, traducciones, etc.).
• Evaluar la estructura lógica en las producciones escritas (exámenes, traducciones).
• Dar algún peso, en la evaluación, a la revisión de los conceptos.
• Evaluar la participación en las experiencias de aprendizaje que se realicen.
• Evaluar el correcto uso del Castellano en la expresión oral de las ideas.
• Evaluar el uso de las herramientas informáticas (navegadores de Internet, editores, etc.) en las actividades realizadas por los estudiantes.
• Realizar pruebas cortas al finalizar las sesiones de problemas, que tendrán un peso en la nota final.
• La nota final es el promedio de: las notas de los los parciales, el promedio de las pruebas cortas de las sesiones de problemas y la nota del trabajo especial.
  

Bibliografía

1. Spivak M., Calculus, Editorial Reverté S.A., 5ª edición, 1978.
2. Tineo Antonio, Introducción al Análisis Real, ULA, 2000.