Programa sinóptico

Álgebra3

Objetivos generales

• Introducir al estudiante en el estudio de las estructuras de Grupo, Anillo y Cuerpo.
• Dotar al estudiante de una base sólida para proseguir estudios donde se utilicen conceptos y métodos algebraicos.
  

Contenido programático

1. Teoría de Grupos
   1.1 Introducción histórica de la resolución de ecuaciones algebraicas por radicales.
   1.2 El concepto de Grupo. Ejemplos.
   1.3 Subgrupos. Grupos cíclicos.
   1.4 El Teorema de Lagrange. El Teorema de Euler. El Teorema de Fermat.
   1.5 Homomorfismos y subgrupos normales. El Teorema de Cayley.
   1.6 Grupos cocientes. Teoremas de isomorfismo.
   1.7 Ecuación de clase. El Teorema de Cauchy. Productos directos.
2. El Grupo simétrico
   2.1 Introducción histórica del concepto de Grupo, a partir del Grupo de permutaciones.
   2.2 Descomposición de una permutación en ciclos. Órbitas.
   2.3 Teorema de descomposición de una permutación en ciclos disjuntos. El Teorema de descomposición de una permutación en el producto de transposiciones.
   2.4 Permutaciones pares e impares. El grupo alterno. Ejemplo de un grupo de orden 12 que no tiene subgrupo de orden 6.
   2.5 Clasificación de los grupos finitos de orden menor o igual a 12.
3. Teoría de Anillos
   3.1 Los conceptos de Anillo y Anillo de integridad. Ejemplos.
   3.2 Ideales, homomorfismos y anillos cociente.
   3.3 Cuerpo de fracciones de un anillo de integridad.
   3.4 Anillos de polinomios. Polinomios sobre los racionales.
   3.5 Anillos euclidianos.
4. Cuerpos
   4.1 Definición y ejemplos de cuerpos. Característica de un cuerpo.
   4.2 Extensiones de cuerpos.
   4.3 Extensiones finitas.
   4.4 Constructibilidad.
   4.5 Raíces de un polinomio.
5. Temas opcionales
   5.1 Simplicidad del Grupo alterno.
   5.2 Teoremas de Sylow y sus aplicaciones.
   5.3 Anillos factoriales.
   5.4 Cuerpos finitos.
   

Metodología

• Uso de un texto para el curso, a saber: Herstein I. N., Álgebra Abstracta, Grupo editorial Iberoamericana, 1988.
• Combinación de clases magistrales expositivas e interactivas.
• Realización de sesiones de lectura dirigidas de algunas partes del texto del curso, o de textos complementarios.
• Realización de sesiones de resolución de problemas.
• Asignación de exposiciones orales de algunos tópicos.
• Presentación del plan de desarrollo de cada tema, destacando los conceptos y resultados fundamentales, antes de desarrollarlo; y luego, al finalizarlo, volver a revisar el plan para chequear que se cumplió.
• Presentación de la historia de algunos conceptos y/o técnicas.
  

Evaluación sugerida

• Realizar, al menos, una evaluación escrita por tema.
• Confeccionar las evaluaciones en base a un problemario oficial.
• Evaluar la redacción en las producciones escritas (exámenes, traducciones, etc.).
• Evaluar la estructura lógica en las producciones escritas (exámenes, traducciones).
• Dar algún peso, respecto a la nota final, a las exposiciones orales.
  

Bibliografía

1. Baumslag B. and Chandler B., Theory and problems of Group Theory, Schaum outline series, 1968.
2. Fraleigh, John B., A first course in Abstract Algebra, 2ª edición, Addison-Wesley, 1976.
3. Hartley B. y Hawkes T. O., Rings, Modules and Linear Algebra, Chapman and Hall, 1976.
4. Herstein, I. N., Topics in Algebra, Blaisdell International textbook, 1964.