Programa sinóptico

Álgebra 2

Objetivos generales

• Introducir al estudiante en la teoría de las transformaciones lineales, con la finalidad de que la matriz asociada, sea la más simple posible.
• Sentar las bases para las aproximaciones lineales.
  

Contenido programático

1. Polinomios y números complejos
   1.1 Polinomios. El anillo de polinomios.
   1.2 División de polinomios. Función polinomial.
   1.3 Raíces y factorización de un polinomio.
   1.4 Máximo común divisor de polinomios. Teorema de factorización única de polinomios.
   1.5 Construcción de los números complejos a partir de los números reales. El cuerpo de los números complejos.
   1.6 Teorema de De Moivre. Enunciar el Teorema Fundamental del Álgebra.
2. Transformaciones lineales
   2.1 Conceptos básicos. Polinomio mínimo. Autovalores y autovectores.
   2.2 Subespacios invariantes. Transformaciones lineales diagonalizables.
   2.3 Teorema de la forma triangular. Teorema de Cayley-Hamilton.
   2.4 Teorema de descomposición de Jordan.
   2.5 Enunciar y aplicar el Teorema de divisores elementales. Forma canónica racional. Forma canónica de Jordan. Matrices similares.
3. Transformaciones ortogonales y unitarias
   3.1 Estructura de una transformación ortogonal.
   3.2 Forma cuadrática. Teorema del eje principal.
   3.3 Espacios vectoriales unitarios. Transformaciones unitarias.
   3.4 Teorema espectral para transformaciones lineales normales.
   3.5 Teorema de descomposición polar.
4. Temas opcionales
   4.1 Espacio cociente y espacio dual.
   4.2 Formas bilineales y dualidad.
   4.3 Suma directa y producto tensorial.
   4.4 Demostración del Teorema de divisores elementales.
   

Metodología

• Uso de un texto para el curso, a saber: Curtis Charles W., Linear álgebra: an introductory approach, Springer Verlag, 1989.
• Combinación de clases magistrales expositivas e interactivas.
• Realización de sesiones de resolución de problemas.
  

Evaluación sugerida

• Realizar, al menos, una evaluación escrita por tema.
• Confeccionar las evaluaciones en base a un problemario oficial.
• El 10% de cada evaluación estará destinado a la revisión de los conceptos.
• El 5% de las producciones escritas estará destinado a la redacción.
• Evaluar la estructura lógica en las producciones escritas (exámenes, traducciones).
• Los exámenes tendrán el siguiente peso en la evaluación: 15% el capítulo 1; 35% el capítulo 2; 30 % el capítulo 3; 20% el capítulo 4.
  

Bibliografía

1. Hoffman K. y Kunze R., Álgebra lineal, 1973.
2. Lang Serge, Álgebra lineal, Fondo educativo interamericano, S.A., 1976.
3. Lipschutz S., Álgebra lineal, Serie de compendios Schaum, 1971.
4. Noble B. y Daniel J. W., Álgebra lineal aplicada, Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A., 1989.