PROGRAMA DE LA ASIGNATURA

MEDIDA E INTEGRACIÓN

1. Objetivos

   Estudiar con rigor y en profundidad la medida  y la integral de Lebesgue, así como sus propiedades más importantes: Teoremas de aproximación de los conjuntos medibles aproximación de las funciones medibles por funciones continuas. El estudio de los espacios, juega un papel de primer orden en este curso, así como también la densidad de las funciones continuas y simples, los teoremas de convergencia y el Teorema de Radon-Nikodym.

2. Preliminares. (1 semana)

   El Axioma de Elección. Números reales extendidos y sus propiedades. Límites superior e inferior de una sucesión en . Todo abierto de es la unión de una colección numerable y disjunta de intervalos abiertos, el Teorema de Lindelöf, el Teorema de Heine-Borel. Series. Representación ternarias y binarias. Conjunto de Cantor y sus propiedades. Función de Cantor.

3. Medida de Lebesgue. (Duración: 2 ½ semanas)

   Motivación. Medida exterior de Lebesgue y sus propiedades. Conjuntos medibles. Medida de Lebesgue y sus propiedades. Regularidad de la medida de Lebesgue. Conjuntos Borelianos y no medibles. Teorema del cubrimiento de Vitali.

4. Funciones Medibles. (Duración: 2 semanas)

   Motivación. Definición y ejemplos. Comparación con las funciones continuas. Teoremas de aproximación: Egoroff y Lusin.

5. Integral de Lebesgue. (Duración: 4 semanas)

   Motivación. Integral de funciones simples no negativas y sus propiedades. Integral de funciones medibles no negativas. Teorema de la convergencia monótona y el Lema de Fatou. Integral de Lebesgue. Teorema de la convergencia dominada. Aproximación de las funciones integrables. Desigualdad de Hölder y Minkowski. Completitud. Espacios  y sus propiedades.

6. Teorema de Radon-Nikodym. (Duración: 1 semana y media)

   Motivación. Continuidad absoluta. Medidas escalares. Variación de una medida . El Teorema de Radon-Nikodym y alguna de sus aplicaciones. Espacio dual.

7. Diferenciación de Funciones Medibles. (Duración: 2 semanas)

   Motivación. Diferenciación de funciones monótonas. Funciones de variación acotada. Diferenciación bajo el signo de la integral y el problema de la primitiva de una función.

BIBLIOGRAFÍA

1. H. L. Royden, Real Analysis, Macmillan Publishing Co., Inc., New York, 1968.

2. E. Hewitt and K. Stronberg, Real and Abstract Analysis, Springer-Verlag (Thrid Edition), New York, Heidelger Berlin, 1975.

3. M. de Guzman y B. Rubio, Integración: Teoría y Técnicas, Alhambra S. A., Madrid, 1979.

4. J. F. Randolf, Basic Real and Abstract Analysis, Academic Press, New York and London, 1968.