PROGRAMA DE LA ASIGNATURA

MATEMATICA 10

1.    Objetivos:

Introducir el concepto de función de una variable real, límite de una función, continuidad y diferenciación. Se deberá hacer énfasis en la interpretación geométrica de estos conceptos. Se darán las primeras demostraciones formales.

2.     Preliminares. (Duración: 2 semanas = 10 hrs)

Repaso de algunas nociones, por ejemplo: Sistemas numéricos: números enteros, racionales y reales, desigualdades. Geometría analítica: Sistemas de coordenadas, distancia entre puntos, rectas en el plano.

3.    Funciones Reales de una Variable Real (Duración: 3 semanas = 15 hrs)

1. Concepto básico de función real de una variable real : Dominio, Imagen y Contraimagen.

2. Gráfica de una función. Gráfica de las funciones elementales : ax +b, x², ax² +bx +c, x³, 1/x, 1/x², a^x, |x|, sen x, cos x y tag x. Criterios gráficos para determinar el rango de una función.

3. Traslación vertical : g(x) = f(x)+k. Traslación horizontal : g(x) = f(x+k). Gráficas de traslaciones de funciones.

4. Reflexión en el eje OX: g(x) = -f(x) y en el eje OY: g(x) = f(-x). Gráficas de reflexiones de funciones elementales: af(x+k) + b, f una función elemental.

5. Función inyectiva, sobreyectiva, biyectiva y su función inversa. Estudio de la biyectividad de las funciones elementales. Restricción del dominio y la función inversa correspondiente.

6. Reflexiones en la recta y=x  y las gráficas de las funciones elementales, por ejemplo : Öx,  log_a x, arcsen x, arccos x, arctag x.

7. Valor absoluto de una función y su gráfica. Gráfica del valor absoluto de la funciones elementales.

8. Composición de funciones. Algebra de funciones.

9. Cálculo del dominio mas amplio de una función.

4.         Sucesiones y Series Numéricas. (Duración: 2 semanas = 10 hrs)

1. El orden de Â. Conjuntos acotados. Propiedad Arquimediana. Axioma del Supremo.

2. Definición de sucesión. Convergente, divergente, acotada, monótona, de Cauchy. Álgebra de límites.  Monotonía.

3. Series numéricas. Términos positivos y geometría. Criterios elementales de convergencia. Cociente, raíz, comparación.

5.         Límites y Continuidad de Funciones. (Duración: 3 semanas = 15 hrs)

1. Límite finito en un punto . Límites laterales en un punto.

2. Teoremas sobre límites : de la función constante, de la función lineal, de la suma, diferencia, producto y cociente de funciones ; de una función polinómica, racional y radical y de la función compuesta (Dar las demostraciones correspondientes). Cálculo de límites.

3. Límite infinito en un punto y asíntotas verticales. Límite en el infinito, asíntotas horizontales.

4. Definición de función continua en un punto. Tipos de discontinuidad.

5. Continuidad en intervalos abiertos. Continuidad lateral en un punto. Continuidad en intervalos cerrados y en intervalos semiabiertos.

6. Continuidad de las funciones elementales.

7. Teoremas sobre la continuidad: Continuidad de la suma, diferencia, producto y cociente de funciones, Continuidad de la función compuesta. Teorema de Bolzano, Weierstrass y del valor intermedio (dar las demostraciones correspondientes)

6.    Diferenciación (Duración: 3 semanas = 15 hrs)

1. Derivada de una función en un punto : Definición e interpretación fisica. Recta tangente y recta normal. Derivabilidad en un intervalo abierto. Derivadas laterales y derivabilidad en un intervalo cerrado y semiabierto. Teoremas sobre derivabilidad y continuidad.

2. La función derivada. Derivada de las funciones elementales.

3. Reglas de derivación : De una función constante, de la suma,  diferencia y producto de funciones ; de la recíproca de una función, del cociente de funciones. Regla de la cadena y derivada de la función inversa. Derivada de la inversa de las funciones elementales. Derivada de funciones exponenciales con exponentes racionales.

4. La notación de Leibniz: dy / dx.

5. Derivada de funciones definidas implícitamente.

6. Derivadas de orden superior.

7. Regla de L´Hopital: Formas indeterminadas.

8. Aplicaciones de la derivada : La derivada como coeficiente de variación. Concepto de diferencial de una  función. Cálculo de errores.

BIBLIOGRAFÍA

• Piskunov: Cálculo Diferencial e Integral.

• Leithold, L. El Cálculo.

• Salas-Hille:  El Cálculo.

• Swokowski: El Cálculo.

• E.J. Purcell and Varberg: Cálculo con Geometría Analítica.

• Prentice Hall Hispanoamericana S.A. (2da Edición). México- Englewood Cliff, 1993