PROGRAMA DE LA ASIGNATURA

INTRODUCCIÓN A LA TOPOLOGÍA

 

SEM.

CÓDIGO

TEORÍA H/S

PRACT. H/S

LAB. H/S

UNIDAD CRÉDITO

PRELACIÓN

6

CMM2TO

4

2

0

5

CMM2A2

 

  1. Objetivos

    Introducir el estudiante al lenguaje y a la nociones básicas de la Topología. Se hará énfasis especial sobre los espacios métricos

  2. Espacios Métricos (Duración: 1 semana y media)

    Métricas y espacios métricos. Ejemplos. Bolas y esferas. Isometrías. Distancia entre conjuntos. Conjuntos y funciones acotadas. Conjuntos abiertos y cerrados. Subespacios. Métrica producto y otras métricas en el producto cartesiano de dos espacios métricos.

  3. Espacios Topológicos (Duración: 3 semanas)

    Topologías y espacios topológicos. Conjuntos abiertos y cerrados. Puntos interiores, de clausura y de acumulación. Frontera. Subespacios. Bases. Topologías generadas. Topología producto en XxY. Densidad y separabilidad. Teorema de Lindelöf. Funciones continuas. Homeomorfismos. Métricas equivalentes.

  4. Sucesiones, Convergencia y Completitud (Duración: 3 semanas)

    Sucesiones, sucesiones convergentes y de Cauchy. Espacios métricos completos. Completitud del espacio delas funciones acotadas con la métrica uniforme. La propiedad de Bolzano-Weierstrass. Completación de un espacio métrico. Completitud no es una propiedad topológica. Conjuntos nunca-densos. Teorema de Baire. Aplicaciones: Teorema del punto fijo de Banach. (Opcional: Convergencia en espacios topológicos. Redes y filtros)

  5. Espacios Compactos (Duración: 3 semanas)

    Compacidad en espacios métricos (definición por sucesiones). Precompacidad. X es compacto si y sólo si X es precompacto y completo. Cubrimientos abiertos, el número de Lebesgue  y el Teorema de Heine-Borel. Compacidad en espacios topológicos. Producto finito de compactos. Compacidad relativa. Continuidad uniforme y aplicaciones al problema de prolongación. (Opcional: Espacios localmente compactos y la compactificación por un punto).

  6. Espacios Conexos (Duración: 1 semana)

    Conexidad. Componentes conexas. Arco-conexidad. Invariantes topológicos.

  7. Espacios de Funciones (Duración: 2 semanas)

    Teorema de Ascoli. Teorema de Dini ( sobre convergencia uniforme de una sucesión monótona de funciones). Álgebra de funciones. Teorema de Stone-Weierstrass.

 

BIBLIOGRAFÍA

  1. Antonio Tineo, Topología en Espacios Métricos, ULA.

  2. Elon Lages Lima, Espacios Métricos.

  3. J. L. Kelley, Topología General.

  4. James R. Munkers, Topology, A first Course, Prentice-Hall, Inc, New  Jersey, 1975.