PROGRAMA DE LA ASIGNATURA

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS FUNCIONAL

1. Objetivos

   Estudiar, en rasgos generales, los espacios de Banach haciendo énfasis en los espacios de Banach clásicos y en los operadores lineales entre espacios de Banach. Los resultados fundamentales que deben ser estudiados son el Teorema de Hahn-Banach, los teoremas de acotación uniforme, la aplicación abierta, el gráfico cerrado, así como también las nociones de reflexividad, espacios separables, las topologías débil y débil , y los espacios de Hilbert.

2. Espacios de Banach. (Duración: 1 semana)

   Espacios de dimensión finita. Espacios lineales normados: definición y ejemplos. Espacios de Banach: definición y ejemplos. Subespacios lineales. Espacios cocientes. Series en espacios de Banach. 

3. Operadores y Funcionales Lineales (Duración: 2 semanas)

   Operadores lineales acotados: definiciones, propiedades y completitud, ejemplos. funcionales lineales acotados: definición, propiedades y ejemplos. Espacios duales, ejemplos clásicos.

4. El Teorema de Hahn-Banach (forma analítica) (Duración: 1 semana)

   Lema de Zorn. Teorema de Hahn-Banach (forma analítica). Consecuencias del Teorema de Hahn-Banach. Comentarios sobre unicidad en el Teorema de Hahn-Banach, condiciones bajo las cuales la extensión es única.

5. El Teorema de Hahn-Banach (forma geométrica) (Duración: 1 semana)

   Conjuntos convexos. Hiperplanos. Separación de conjuntos convexos por hiperplanos: forma geométrica del Teorema de Hahn-Banach. Equivalencia entre la forma analítica y la forma geométrica del Teorema de Hahn-Banach y aplicaciones.

6. Reflexividad (Duración: 1 semana)

   Reflexividad: Definición y ejemplos. Espacios separables, ejemplos. Teorema de Helly.

7. Topologías en Espacios de Banach (Duración: 2 semanas)

   Topología producto, teorema de Tychonoff. Topología débil: definición y ejemplos. Topología débil: definición, propiedades y teorema de Alaoglu. Compacidad débil: Caracterización de reflexividad. Algunas propiedades topológicas de los espacios de Banach.

8. El Principio de Acotación Uniforme,  el Teorema de la Aplicación Abierta y del Gráfico Cerrado. (Duración: 1 semana)

   Teorema de Categoría de Baire. Aplicaciones: teorema de acotación uniforme. Teoremas de la aplicación abierta y del gráfico cerrado.

9. Operadores Lineales Especiales (Duración: 1 semana y media)

   Operadores lineales de rango finito. Operadores lineales compactos, propiedades y ejemplos. Operadores lineales débilmente compactos, propiedades y ejemplos. Operadores lineales nucleares, propiedades y ejemplos.

10. Espacios de Hilbert (Duración: 1 semana y media)

    Espacios con producto interno: definición y ejemplos. Espacios de Hilbert: definición y ejemplos. Conjuntos ortonormales. Teorema de representación de Riesz. Dual de un espacio de Hilbert. Identidad de Parseval, desigualdad de Bessel. Operadores adjunto, autoadjunto, simétrico, normal y unitario. Proyecciones: teorema de la proyección. Caracterización de  espacios de Hilbert.

11. Teoría Espectral y Álgebras de Banach (Duración: 2 semanas)

    Teorema espectral en dimensión finita. Conjuntos resolventes: espectro puntual, continuo y residual. Operador resolvente: el radio espectral. Teorema espectral. Álgebras de Banach: Definición, propiedades y ejemplos. Teorema de Gelfand-Mazur. El álgebra de Wiener: Teorema de Wiener.

BIBLIOGRAFÍA

1. G. Bachman and  L. Narici, Functional Analysis, Academic Press, London, 1966.

2. A. E. Taylor and D.C. Lay, Introduction to Functional Analysis, Second Edition, John Wiley and Sons, 1980.

3. G. J. O. Jamenson, Topology and Normed Spaces, Chapman and Hall, London, 1974.

4. R. Larsen, Functional Analysis: An introduction, Marcel Dekker, Inc, N. Y. , 1973.