PROGRAMA DE LA ASIGNATURA

FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 2

 

SEM.

CÓDIGO

TEORÍA H/S

PRACT. H/S

LAB. H/S

UNIDAD CRÉDITO

PRELACIÓN

2

CMFA20

4

2

0

5

CMFA10

 

  1. Objetivos.

    Continuar con la presentación de los hechos más importantes de otros sistemas numéricos básicos: Los números reales y complejos. Señalar las estructuras algebraicas y de orden subyacentes en los objetos estudiados. Se dará especial énfasis al cuerpo de lo números reales: Principio de Arquímedes, densidad de los racionales y completitud. Estudio de laspropiedades elementales del anillo de polinómios.

  2. El Lenguaje Matemático (continuación de Fundamentos de Algebra 1). (Duración: 2 semanas)

    1. Otras nociones de la teoría intuitiva de conjuntos. Conjunto de partes. Relaciones. Relaciones de equivalencia. Clases de equivalencia y conjunto cociente. Correspondencia entre particiones y relaciones de equivalencia. Relaciones de orden. Orden total. Acotamiento. Buenos ordenes.

    2. Funciones. Dominio, codominio e imagen. Igualdad de funciones. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas (permutaciones). Composición de funciones y función inversa. Funciones monótonas (con respecto a un orden).

    3. Equipotencia. Conjuntos finitos e infinitos. Cardinal de un conjunto (noción intuitiva). Propiedades de los conjuntos finitos (la unión y el producto cartesiano de una colección finita de conjuntos finitos es finita, cardinalidad del conjunto de partes de un conjunto finito).Conjuntos numerables y no numerables y algunas de sus propiedades (todo conjunto infinito posee un subconjunto numerable, todo subconjunto de un conjunto numerable es numerable, unión numerable de conjuntos numerables es numerable, producto cartesiano de una colección finita de conjuntos numerables es numerable). Q es numerable. Lema de Cantor y el método de diagonalización.

  3. Estructuras Algebraicas. (Duración: 3 semanas)

    1. Operación binaria y ejemplos. Estructuras algebraicas: Grupos, anillos y cuerpos. Compatibilidad de una operación con una relación de equivalencia y con una relación de orden. Estructuras ordenadas. Homomorfismos.

    2. Construcción de Z a partir de N, copia de N en Z. Construcción de Q a partir de Z, copia de Z en Q.

    3. Caracterización de los sistemas de los números naturales, enteros y racionales como estructuras algebraicas ordenadas. Cuerpos arquimedianos y cuerpos ordenados completos. Q no es completo.

  4. Los Números Reales. (Duración: 4semanas)

    1. Introducción de los números reales como longitudes y como puntos en la recta. El axioma de completitud. Postulado de Dedekind. Principio de Arquímedes. Densidad de Q en R. Radicación en R.

    2. Los números irracionales. Densidad de los irracionales en R. No numerabilidad de R. Hipótesis del Continuo.

    3. Expresiones decimales. Números algebraicos (¿cómo los define?) y trascendentes. Los algebraicos son numerables. Densidad de los algebraicos y los trascendentes en R. Fracciones continuas.   Logaritmos. Caracterizaciones de los números reales.

  5. Los Números Complejos. (Duración: 2 semanas)

    Construcción del cuerpo de los números complejos a partir de los números reales. Inclusión de R en C. Forma canónnica o algebraica. Conjugado y norma. Forma polar o trigonométrica. Fórmula de De Moivre. Radicación. Raíces de la unidad.

  6. Polinomios. (Duración: 3 semanas)

    1. Definión. Adición y multiplicación y sus propiedades. Algoritmo de la división de Euclides.

    2. Raíces. El teorema fundamental del álgebra.

    3. Divisibilidad y factorización. Expresiones racionales. Aritmética de las expresiones racionales. Descomposición en fracciones simples.

 

BIBLIOGRAFÍA