PROGRAMA DE LA ASIGNATURA

FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 1

1.    Objetivos

Usar algunos de los hechos básicos de la teoría de conjuntos y de la lógica para introducir las propiedades más importantes de los tres sistemas numéricos básicos: Los números naturales, enteros y racionales. Motivar la necesidad de formalizar y de demostrar rigurosamente, y de esta forma familiarizar al estudiante con el método axiomático (para esto se introducirá la noción de prueba y se ejercitará a través de todo el curso).

2.    Introducción al Lenguaje Matemático.

1. Teoría intuitiva de conjuntos

   • Noción intuitiva de conjuntos, subconjunto, pertenencia y elemento. Igualdad de conjuntos, definición por extensión, comprensión y notación.

   • Álgebra de conjuntos: Unión, intersección, inclusión, diferencia y diferencia simétrica, complemento, conjunto vacio. Leyes de Morgan. Diagramas de Venn.

   • Par ordenado, producto cartesiano, relaciones y funciones (solo una presentación elemental,  pues  se  verá  con  mas  detalle en el curso de Fundamentos de Álgebra 2).

2. Nociones básicas de lógica (Duración: 2 semanas)

   • Concepto de proposición. Conectivos lógicos: Negación, conjunción, disyunción, condicional, bicondicional. Analogía con el álgebra de conjuntos.

   • Valores de verdad, tablas de verdad, contradicción y tautologias. Implicación (directa, contraria, recíproca y contrarrecíproca) y equivalencia lógica. Equivalencia de una proposición y su contrarrecíproca.

   • Noción intuitiva de prueba en lógica proposicional. Análisis de algunos casos comunes. Esquemas de pruebas basados en tautologias: Modus Ponens y reducción al absurdo.

   • Cuantificadores universales y existenciales y sus negaciones.

   • Nociones sobre el método axiomático: Términos primitivos, definiciones, axiomas y teoremas.Aclarar las distintas denominaciones tradicionales de las consecuencias lógicas: Proposición, teorema, corolario, lema.

3. Los Números Naturales (Duración: 4 semanas)

   • Noción intuitiva de los números naturales. La adición y sus propiedades: Asociativa, conmutativa, ley de cancelación.

   • El orden ( y ) y sus propiedades: Linealidad (tricotomía), transitividad, compatibilidad con la adición y leyes de cancelación con respecto al orden.

   • Principio del buen orden. Sucesor de un número natural. Principio de inducción finita. Principio de definición por recurrencia (presentación intuitiva).

   • La multiplicación y sus propiedades: Asociativa, conmutativa, distributiva con respecto a la adición, existencia de elemento neutro, ley de cancelación.

   • Principio de Arquímedes. Algoritmo de la división de Euclides.

   • Potenciación y sus propiedades. Principios de inducción completa y ejemplos del método de demostración por inducción.

4. Los Números Enteros. (Duración: 4 semanas)

   • Introducción de los números enteros como soluciones de las ecuaciones. Z como extensión de N.

   • Operaciones (adición, sustracción y multiplicación) y sus propiedades.

   • El orden y sus propiedades. Principio de Arquímedes. Principios de inducción completa en Z.

   • Potenciación y sus propiedades. Factoriales. Fórmula del binómio de Newton.

   • Valor absoluto. Algoritmo de la división de Euclides. Representación p-ádica.

   • Rudimentos de la Teoría de Números: Divisibilidad y números primos (existencia de infinitos números primos). Máximo común divisor, Mínimo común múltiplo y métodos para calcularlos. Teorema fundamental de la aritmética. Criterios de divisibilidad. Congruencias y sus propiedades. Aplicaciones de las congruencias (criterios de divisibilidad y cálculo de restos).

5. Los Números Racionales. (Duración: 4 semanas)

   • Introducción de los números racionales como soluciones de las ecuaciones de la forma. Igualdad de números racionales (se dejará la construcción  de Q como clases de equivalencia para el curso de Fundamentos 2). Q como extensión de Z. Interpretación de Q como proporciones.

   • Operaciones (adición, sustracción, multiplicación y potenciación) y sus propiedades.

   • El orden de Q y sus propiedades. Densidad. Principio de Arquímedes.

   • Representación geométrica de Q (de Z y N). Parte entera y mantisa.

   • Imposibilidad de resolver en Q todas las ecuaciones. Puntos de la recta que no corresponden a números racionales.

BIBLIOGRAFÍA

1. Juan Leal y Antonio Tineo, Notas de Fundamentos de Álgebra, Notas mimeografeadas, ULA.

2. Luis Jacy Monteiro, Elementos de Álgebra, Ao Livro Técnico S. A. , 1969.

3. Misha Cotlar y Cora Ratto de Sadosky, Introducción al Álgebra, Editorial Universitaria de Buenos Aires, 1969.

4. Enzo Gentile, Notas de Álgebra I, Eudeba, 1988.