PROGRAMA DE LA ASIGNATURA

FUNCIONES ANALÍTICAS

1. Objetivos

   Proporcionar al estudiante las herramientas y técnicas fundamentales sobre la teoría y aplicaciones de las funciones de una variable compleja enfatizando las cualidades geométricas de las transformaciones conforme y destacando las propiedades fundamentales del Análisis Complejo: Analiticidad de una función y su representación en serie de potencias y la relación entre los ceros y los polos de una función en el interior de un contorno y su integral sobre dicho contorno.

2. Funciones Holomorfas. (Duración: 4 semanas)

   Repaso sobre sobre números complejos e introducción a la notación. Funciones a valores complejos. Funciones elementales como transformaciones. Rudimentos de topología plana. Proyección estereográfica: El plano complejo extendido. Continuidad. Diferenciabilidad: Funciones Holomorfas. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Ecuación de Laplace. Funciones armónicas. Transformaciones conformes.

3. Funciones elementales. (Duración: 1 semana y media)

   La función exponencial. Logaritmos. Potencias. Funciones trigonométricas. Funciones trigonométricas inversas.

4. Integración compleja. (Duración: 3 semanas)

   Integración en el plano complejo. Teorema de Cauchy. Extensiones. Integral de Cauchy. Fórmula de Cauchy para derivadas. Integrales del tipo de Cauchy. Prolongación analítica y el principio de reflexión de Schwartz. Teorema de Morera. El principio del Máximo.

5. Series de potencias (Duración: 2 semanas)

   Series infinitas. Operaciones con series. Series dobles. Convergencia de series de potencias. Funciones Holomorfas definidas por series de potencias. Series de Taylor. Singularidades. Series de potencias no prolongables. Series uniformemente convergentes de funciones holomorfas.

6. Teoremas de representación (Duración: 2 semanas)

   Series de Taylor. El módulo máximo. Desarrollo de Laurent. Singularidades aisladas. Funciones meromorfas. Productos infinitos. Funciones enteras. La función Gamma.

7. Residuos y Polos. (2 semanas y media)

   El Teorema de los residuos. El principio del argumento. Cálculo de integrales reales impropias. Transformadas inversas de Laplace.

BIBLIOGRAFÍA

1. Ruel V. Churchil y James W. Brown, Variable Compleja y Aplicaciones, Mc Graw Hill, Quinta edicion, 1992.

2. Lars V. Ahlfors, Complex Analysis, Mc Graw Hill, Third edition, 1979.

3. Bruce P Palka, An Introduction to Complex Function Theory. Springer Verlag, 1991.

4. John Conway, The Theory of Function of one Complex Variable, Springer Verlag.