PROGRAMA DE LA ASIGNATURA

ANÁLISIS 2

1. Objetivos

   Estudiar las propiedades topológicas básicas, la noción de diferenciación (haciendo énfasis en la diferencia con el concepto de derivada de funciones de una variable real). Los teoremas más importantes de éste curso son el Teorema de Función Inversa y el Teorema de la Función Implícita, se deben dar algunas aplicaciones de éstos teoremas.

2. Topologías (Duración: 4 semanas)

   1. Espacios con producto interno. Normas y espacios normados. Desigualdad de Cauchy-Swcharz. Distancias. Bolas.

   2. Conjuntos abiertos y cerrados. Puntos interiores y de clausura. Frontera de un conjunto. Separabilidad. Teorema de Lindelöf.

   3. Límites y continuidad de funciones reales y vectoriales: Propiedades algebráicas. Composición de funciones continuas. Funciones Lischitzianas. Homeomorfismos. Continuidad de las funciones lineales y bilineales.

   4. Sucesiones y convergencia: Propiedades. Completitud. Caracterización de los conjuntos cerrados y de las funciones continuas por medio de sucesiones. Teorema de Cantor. Teorema de Baire.

   5. Cubrimientos abiertos y compacidad. Caracterización de los Compactos como cerrados y acotados. Continuidad uniforme. Máximos y mínimos de funciones reales continuas definidas en un compacto. Equivalencia de las normas. Normas matriciales.

   6. Conjuntos conexos y arco-conexos: Propiedades.

3. Diferenciabilidad de Funciones Reales de Varias Variables.  (Duración: 5 semanas)

   1. Derivadas parciales y direccionales.

   2. Diferenciabilidad (según Frechet) de funciones reales de varias variables. Interpretación geométrica. Equivalencia entre diferenciación y derivación en el caso n=1. Diferenciación de transformaciones lineales y bilineales. Relación entre continuidad y diferenciabilidad.

   3. Regla de la cadena. Álgebra de funciones diferenciables reales. Teorema del Valor Medio. Teorema fundamental de diferenciación. Funciones de clase.

   4. Diferenciación de orden superior. Teorema de Schwartz sobre las parciales cruzadas. Desarrollo de Taylor. Funciones de Clase C².

   5. Puntos críticos. Máximos y mínimos locales. Criterior de clasificación de los puntos críticos. Aplicaciones al cálculo de máximos y mínimos globales de funciones continuas definidas en la clausura de un abierto acotado.

4. Diferenciabilidad de Funciones Vectoriales de Varias Variables  (Duración: 5 semanas)

   1. Diferenciabilidad de una función vectorial. Propiedades elementales. Matriz Jacobiana y regla de la cadena. Teorema de Schwartz. Desigualdad del valor medio.

   2. Curvas y superficies regulares. Propiedades geométricas del vector gradiente. Planos tangentes y rectas normales a una superficie.

   3. Teorema de la función inversa: Aplicaciones.

   4. Teorema de la función implícita: Aplicaciones.

   5. Máximos y mínimos con restricciones. Multiplicadores de Lagrange.

    

BIBLIOGRAFÍA

1. Apóstol Tom, Análisis Matemático. Editorial Reverte

2. Michael Spivak, Cálculo en Variedades.

3. W.H. Fleming, Funciones de Varias Variables.

4. Lages Lima, E.