PROGRAMA DE LA ASIGNATURA

ANÁLISIS 1

1. Objetivos

   Estudiar las propiedades topológicas básicas. Estudiar la noción de diferenciación e integración. Este curso deberá proveer la fundamentación rigurosa de lo visto en los cursos de Matemática 10 y 20.

2. Topología de la Recta Real  (Duración: 3 semanas)

   1. Valor absoluto y sus propiedades.

   2. Intervalos abiertos y su caracterización en términos de la métrica usual. Definición de punto interior de un subconjunto y definición de conjunto abierto, unión e intersección de abiertos.

   3. Conjuntos cerrados: Definición de punto de adherencia para un conjunto y su caracterización en término de sucesiones. Definición de conjunto cerrado. Propiedades.

   4. Puntos de acumulación para un conjunto. Caracterización en términos de sucesiones. Conexión entre puntos de acumulación y conjuntos cerrados.

   5. Conjuntos compactos. Definición y ejemplos. Teorema de Borel Lebesgue. Caracterización de los conjuntos compactos. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Teorema de los intervalos compactos encajados.

   6. Conjuntos conexos .Definición y caracterización de los conjuntos conexos.

   7. Completitud. Definición de sucesiones de Cauchy. Ejemplos. _Dotado con la métrica usual es completo.

   8. Densidad. Los racionales y los irracionales son densos. Estructura de los abiertos  (todo abierto es unión numerable de intervalos abiertos).

3. Continuidad (Duración: 3 semanas)

   1. Definición de continuidad en un punto y en todo el dominio. Analizar los casos cuando el dominio de la función o un subconjunto propio. Caracterización de la continuidad en un punto y en todo el dominio en términos de : conjuntos abiertos, de sucesiones y límites.

   2. Propiedades aritméticas de las funciones continuas (suma, resta, multiplicación, cociente y composición ).

   3. Propiedades de funciones continuas definidas sobre conjuntos compactos e intervalos compactos. Teorema del valor intermedio (Teorema de Bolzano-Cauchy), Teoremas de Weierstrass.

   4. Continuidad uniforme y caracterizcion.

   5. Funciones continuas definidas sobre conjuntos conexos.

4. Derivación (Duración: 3 semanas)

   1. Definición de derivada, derivadas laterales.

   2. Propiedades aritméticas de funciones derivables.

   3. Derivada de la función inversa.

   4. Caracterización de la monotonía de funciones derivables.

   5. Funciones derivables en un intervalo: Teorema de Rolle, teorema del valor medio de Lagrange y de Cauchy.

   6. Fórmula de Taylor para funciones polinómicas y derivables. Resto en la forma de Lagrange y de Cauchy.

5. Integral de Riemann (Duración: 3 semanas)

   1. Sumas integrales superior e inferior. Integral superior e inferior de Riemann. Definición de la integral de Riemann. Condiciones necesarias y suficientes de integrabilidad.

   2. Propiedades aritméticas de las funciones Riemann integrables.

   3. Teorema del valor medio para integrales.

   4. Clases de funciones Riemann integrables.

   5. Teorema fundamental del calculo.

6. Suseciones y Series de Funciones (Duración: 3 semanas)

   1. Definiciones de convergencia puntual y uniforme para sucesiones y series de funciones.

   2. Definición de sucesiones uniformemente de Cauchy.

   3. Condición necesaria y suficiente para la convergencia uniforme de sucesiones y series de funciones (teorema generalizado de Bolzano-Cauchy).

   4. Propiedades de sucesiones y series de funciones continuas uniformemente convergentes.

   5. Teoremas sobre intercambio de límites, límite e integrales, y límites y derivadas para sucesiones y series uniformemente convergentes.

BIBLIOGRAFÍA

1. A. J. White, Real Analysis: Introduction, Addison Wesley.

2. Michael Spivak, Calculo Infinitesimal, Editorial Reverte.

3. R. Bartle and D. Sherbert, Introduction to Real Analysis, John Wiley.

4. Don R. Lick, The Advance Calculus of one Variable, Appleton Century Crofts.