PROGRAMA DE LA ASIGNATURA

ALGEBRA LINEAL  2

1. Objetivos

   Profundizar el conocimiento de la estructura de los espacios vectoriales, las propiedades de los operadores y las de sus matrices asociadas. Se hará énfasis especial en las formas canónicas de un operador y la dependencia con el cuerpo en el cual está definido el espacio vectorial. En el caso complejo se estudiarán los operadores hermitianos, unitarios y normales.

2. Operadores de un Espacio Vectorial (Duración: 4 semanas)

   Definiciones. Polinomio minimal y Raíces características de un operador T. Valores propios. Propiedades de los vectores característicos. Subespacios invariantes y sus propiedades. Teorema de descomposición primaria de un operador. Operadores diagonalizables. Condición necesaria y suficiente para que un operador sea diagonalizable. Forma triagular de un operador. Operadores nilpotentes. Polinomio característico de un operador.  Teorema de Cayley-Hamilton. Teorema de Schur.

3. Forma Canónica Racional y de Jordan (Duración: 3 semanas)

   Subespacios cíclicos relativos a T. Orden de un vector. Divisores elementales. Matriz de compañía de un polinomio. Forma canónica racional. Forma canónica de Jordan.

4. Formas Bilineales (Duración: 1 semana y media)

   Espacio cociente. Espacio dual. Operador transpuesto: Propiedades. Formas bilineales. Teorema de representación de formas bilineales no degeneradas. Anuladores.

5. Producto Directo y Producto Tensorial (Duración: 1 semana y media)

   Producto directo y producto tensorial de espacios vectoriales. Construcción  y propiedades. Teoremas de la dimensión  y representación.

6. Espacios con Producto Interno (Duración: 4 semanas)

   Operadores ortogonales. Teorema de representación.  Teorema de ejes principales. Productos escalares Hermitianos: Caracterización y propiedades. Operadores adjunto, auto-adjunto y normal: Propiedades. Teorema espectral para operadores normales. Operadores positivos.

BIBLIOGRAFÍA

1. Charles Curtis, Linear Álgebra, Springer Verlag, New York, 1989.

2. Kenneth Hoffman y Ray Kunze, Álgebra Lineal, Prentice-Hall Hispanoamericana, México, 1990.